Ensemble de solutions de y' = ay + b

Théorème

Soit  \(a\) et  \(b\) deux réels non nuls.
Les solutions sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle \(y'=ay+b\) sont les fonctions définies sur \(\mathbb R\) par \(\boxed{x\mapsto k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}}\) , où \(k\in\mathbb R\) . 

Démonstration  

Soit  \(a\) et  \(b\) deux réels non nuls. On s'intéresse aux solutions   sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle \(y'=ay+b\) .

• Soit  \(f\)  une solution sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle \(y'=ay+b\) .
  \(f\) vérifie ainsi l'équation \(f'=af+b\) .
  Soit \(f_0\) la solution particulière de l'équation différentielle définie, pour tout réel \(x\) , par  \(f_0(x)=-\dfrac ba\) . 
  \(f_0\) vérifie aussi \(f_0'=af_0+b\) .
  Alors on a \((f-f_0)'=(af+b)-(af_0+b)=a(f-f_0)\) .
  Donc la fonction \(f-f_0\) est solution sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle \(y'=ay\) .
  D'où, pour tout \(x\) réel, il existe un réel  \(k\) tel que \((f-f_0)(x)=k\text e^{ax}\) .
  Ainsi, pour tout \(x\)   réel, \(f(x)=k\text e^{ax}+f_0(x)\) .
  
• Réciproquement, on vérifie que les fonctions définies   sur \(\mathbb R\) et de la forme  \(x\mapsto k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}\) , où \(k\) est réel, sont solutions sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle \(y'=ay+b\) .
  Soit   \(k\) un réel. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par  \(f(x)= k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}\) .
  Pour tout réel \(x\) , on a \(f'(x)= ka\text e^{ax}\) .
  Donc, pour tout   tout réel \(x\) , on a  \(af(x)+b=a\left(k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}\right)+b=ak\text e^{ax}-b+b=f'(x)\) .
  

Conclusion
Les fonctions définies sur \(\mathbb R\) et de la forme  \(x\mapsto k\text e^{ax}-\dfrac{b}{a}\) , où \(k\) est réel, sont les solutions sur \(\mathbb R\) de l'équation différentielle \(y'=ay+b\) .